A matemática do contágio: epidemias e
outros modelos exponenciais
09/07/2020 Joan-Vicenç Gómez i Urgellés
Aquecimento de motores: um caso hipotético
Como exemplo, é introduzida uma
situação hipotética de contágio para estabelecer uma abordagem
para algum tipo de modelo matemático que simula o comportamento de uma
epidemia. Para fazer isso, assumimos que um indivíduo contamina apenas três
pessoas e no dia seguinte cada uma dessas três pessoas infecta apenas mais três
pessoas e assim por diante. Teremos a seguinte situação:
|
Contagiados no primeiro dia |
Novos Contagiados no segundo dia |
Novos Contagiados no terceiro dia |
Novos contágios no quarto dia |
Novos contagiados no dia n |
|
|
1 |
3 |
9 |
27 |
3 n-1 |
|
|
Total contagiados no primeiro dia |
Total contagiados no segundo dia |
Total contagiados no terceiro dia |
Total contagiados no quarto dia |
Total contagiados do dia 1 até o dia n |
|
|
1 |
4 |
13 |
40 |
 |
Em geral, se chamarmos o primeiro termo a1 (no exemplo a1 = 1) e a razão do crescimento, nós o designamos r (em termos matemáticos, é chamado de razão e, em termos médicos, é denotado R0 ), obtemos o modelo
, onde
o termo an indica o número de pessoas que foram infectadas no
dia n e a expressão
indica o número total de
infectadas até o dia n. Não. Pode-se argumentar que o modelo segue
discretamente o padrão usual de uma progressão geométrica.O exemplo acima permite que você faça perguntas como:
No décimo dia, quantos infectados haverá?
E o número total de infectados desde o primeiro dia até o décimo?
Quantos dias
devem passar, se nenhuma ação for tomada, para ter um total de 100.000
infectados?
Um cálculo simples nos diz que no décimo dia haverá a10 = 1 · 310-1 = 19683 infectados, sendo o número total de infectados nesses dez dias
. Se quisermos saber quanto tempo levará para
100.000 serem infectados, o modelo nos remete à solução da equação exponencial 
que tem como solução
(usando logaritmos ou calculadora) 11.1104; isto é, após 11 dias, 100.000
pessoas serão infectadas.Os resultados sugerem algumas reflexões: Precisamos agir? Que tipo? O sistema de saúde está saturado? Essas reflexões são uma pequena lição para o leitor das consequências que uma epidemia pode causar.
Na
expressão an
= a1 . rn-1
a variável n é um número natural, portanto é um
modelo discreto; esse fato sugere considerar o modelo continuamente
introduzindo qualquer valor temporal x e, nesse caso, podemos
estabelecer o modelo mais amplo como a função:
g
(x) = a1 . r x-1
, mais geralmente teremos uma expressão da forma:
f
(x) = K . (R0)x .
A
importância do valor R0 é vital. Para visualizar o
gráfico do modelo que tomaremos, para fixar idéias e por simplicidade, o valor K
= 1 e, neste caso, será observado o papel relevante dos diferentes valores
do parâmetro R0 no controle epidêmico.
Com R0
> 1 , o aspecto do gráfico da função f(x) é o seguinte:
Com R0
de contágio epidêmico está diminuindo:
Observa-se
que o comportamento das curvas é bastante diferente dependendo do parâmetro R0.
O mais importante é poder diminuir o valor de R0,
porque se for menor que 1, significa que cada pessoa não consegue infectar uma
pessoa e a propagação pára pela mesma dinâmica.
Em
resumo, o modelo matemático formal seria determinado com base em duas variáveis
independentes R0: e tempo t. É claro que o
valor varia constantemente (na verdade, é a velocidade de propagação) e o
modelo pode ser escrito como a função de duas variáveis:
f
(Ro’ t) = K· (R0)t com R0 ≥ 0 y t ≥ 0
Situações reais. O caso particular da
covid-19
Em
várias epidemias, alguma aproximação ao fator R0 de alguma tipologia de infecção
epidêmica foi verificada experimentalmente, conforme ilustrado nas imagens a
seguir.
De
acordo com dados publicados pela OMS,
ECDC, CDC e British Medical Journal
em 6 de fevereiro de 2020, temos que em um primeiro ciclo os elementos A
infectam os elementos B, lembre-se de que o número de infecções possíveis de
cada elemento será determinado pelo fator R0 .
RITMO
DE CONTÁGIO (RO)
 |
| Adicionar legenda |
Mais tarde
teremos que o crescimento é da forma
O diagrama
acima mostra o crescimento causado por cada vírus.
Para
o sarampo, por exemplo, estima-se que o R0
seja em torno de 15. Ou
seja, durante um surto de sarampo, uma pessoa infectada contamina em média mais
15, se nenhuma for vacinada. Para a catapora, é de aproximadamente 10. No caso
do coronavírus, a estimativa inicial do R0 é de 2,5. Se consultarmos os arquivos do
jornal, a gripe espanhola de 1918 teve um R0 da ordem de 2,1.
Na
primeira fase, mais e mais pessoas são infectadas e cada vez mais rápidas. A
taxa de infecção depende, portanto, do tamanho do R0 e
de outra variável fundamental, o tempo decorrido entre o momento em que uma
pessoa é infectada e o tempo em que a mesma pessoa infecta outra. No caso da
covid-19, estima-se que esse tempo seja entre 4 e 14 dias.
· A
principal preocupação no momento é reduzir o valor de R0,
essa diminuição faz com que a velocidade da expansão diminua. E quando R0
se comporta abaixo do valor crítico de 1, a difusão começa diminuir. A partir desse
momento, a epidemia recua.
Um
dos principais problemas em uma escala de saúde é a saturação de hospitais. O
número de infecções que requerem hospitalização pode exceder a capacidade dos
centros de saúde; portanto, é de extrema importância a tomada de medidas
restritivas necessárias e apropriadas, conforme mostrado no modelo mostrado no
gráfico:
O modelo Gompertz
(modelo de Gompertz modificado), em que o
parâmetro a é o número inicial de células / organismos quando o tempo é zero
(isto é, no instante inicial do contágio); os parâmetros b e c
dependem de outros fatores experimentais. Note-se que, se b tende ao
infinito, a curva tende a zero, extinguindo a pandemia.O gráfico
mostra uma pequena aproximação feita com o programa Geogebra da curva de
Gompertz:
Na imagem
anterior, que é uma simulação, a curva começa a diminuir o crescimento a partir
do 25º dia, aproximadamente, do início da epidemia e assumindo que durante esse
período de tempo haja um confinamento da população.
Se
aplicarmos a curva de Gompertz à evolução da epidemia na Espanha durante o mês
entre 25 de fevereiro e 25 de março de 2020, veremos que o modelo se ajusta perfeitamente
ao realidade.
fonte: Ministério
de Sanidad Espanã – atualizado 24/3/2020
Gráficos
da evolução do coronavírus na Catalunha e Espanha, fornecidos pelo Ministério da Saúde.
Outros
modelos mais sofisticados requerem conhecimento de equações diferenciais. Se
for detectada uma doença ou praga que possa imunizar o indivíduo que a sofreu,
a ideia é descobrir sua evolução ao longo de vários períodos (dias, meses ...),
começando inicialmente de um número específico de pessoas infectadas. É o
chamado modelo SIR. Nesse modelo, na descrição das
variáveis, leva-se em consideração que, em cada estágio t, a população é
dividida em três grupos:
S (t)
indivíduos vulneráveis, suscetíveis à infecção, I (t) infectados e R (t)
imunes; se denotar N (t) na população total, a igualdade é estabelecida:
N(t) =
S(t) + I(t) + R(t)
A
partir dessa relação, análises rigorosas são realizadas com epidemiologistas,
especialistas e matemáticos que levam à solução de sistemas de equações
diferenciais da forma:
;
sob certas condições iniciais, m e c sendo parâmetros positivos. Para
aprofundar esse tipo de modelo, é aconselhável ler o artigo Modelos matemáticos
en un problema de epidemias", d'A. Vidal,
F.J. Boigues, V.D. Estruch. Modelling in
Science Education and Learning, Volume 9(2), (2016 )
Referências e fontes consultadas
Alguns
links que podem ajudar a complementar e aprofundar as informações apresentadas:
1. https://www.covidvisualizer.com/
i https://cutt.ly/DtKSSR6 Nesses sites, você pode ver a propagação mundial da pandemia em tempo real
2. https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/world/corona-simulator/ Estudo interessante com simulações do spread do COVID-19
3. https://covid19.isciii.es/ Informações atualizadas e diárias, incluindo dados, sobre a evolução da epidemia no Estado espanhol. Página oferecida pelo Ministério da Ciência e Inovação.
4. https://catalunyaplural.cat/ca/5-grafics-actualitzats-per-seguir-levolucio-del-coronavirus-a-catalunya-espanya-i-el-mon/ Neste endereço, você pode encontrar gráficos atualizados do estado da pandemia no nível internacional
5. https://web.gencat.cat/ca/coronavirus Site oficial da Generalitat de Catalunya com indicações e notícias de pesquisas mais recentes. Inclui conselhos aos cidadãos sobre o comportamento a nível social.
6. https://cutt.ly/VtKDNxf
i http://aquas.gencat.cat/ca/actualitat/ultimes-dades-coronavirus Mostra a situação atual de todos os municípios da Catalunha, com número de infectados e probabilidades de serem infectados. Também a incidência de infecção em cada território.
7. https://gabgoh.github.io/COVID/index.html?CFR=0.0343&D_hospital_lag=5&D_incbation=5.2&D_infectious=2.9&D_recovery_mild=13
Sofisticada calculadora "online" da evolução de uma epidemia. É baseado no modelo SIR.
Tradução de paulo celso da silva
com autorização expressa do autor, a quem agradecemos a gentileza do envio de uma versão também em espanhol.
original disponível em:
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